atribuida a Pascal,, aunque también se dice que fue Tataglia su autor. Bueno si observan como se forma esta pirámide. Se empieza en la fila "cero" la superior colocando 1, luego cada fila inferior se forma colocando 1 en los extremos y los demás lugares se forma de sumar los dos números superiores, y así al infinito. Pero que curiosidades tiene esta formación veamos:1.- La suma de los números de cada fila es igual a 2 elevado al número de fila:
Veamos
Fila 4 : 1 4 6 4 1 Suma= 16 y tenemos 16 = 2**4
Fila 7 : 1 7 21 38 38 21 7 1 Suma = 134 y tenemos 134 = 2**7
2.- Cada fila contiene los coeficientes del complejo Binomio de Newton (a+b)^n
Ejemplo (a+b)^3 = 1.a^3 + 3.a^2.b+3a.b^2+1.b^3
Los coeficientes son: 1 3 3 1 y son los números de la fila 3 del triágulo de Pascal!
Y así se cumple para cualquier n.
Ejemplo binomio a la 7ma. potencia, entonces los coeficientes del binomio están en la fila 7: 1 7 21 35 35 7 1
3. Teoría Combinatoria.
Si denotamos como C(N:P) a Combinaciones de N elementos tomados de P en P, demostraremos que este resultado está en el triángulo de Pascal.
Por ejemplo C(7:3) Combinaciones de 7 elementos tomados en grupos de 3 en 3:
Matemáticamente se resuelve así:
C(7:3)= (7!)/(3!.(7-3)!)
(!=factorial ejm. 7!= 7.6.5.4.3.2.1 = 5040)
C(7:3)= 5040/(6.24) = 35
Veamos ahora el triángulo de Pascal en la fila 7 columna 3 (empieza en fila cero y columna cero) y encontramos que efectivamente el número es 35 !genial!
4. Propiedad singular:
En el triángulo de Pascal, y tomemos cualquier diagonal y sumemos sus números desde el extremo y por la longitud que deseemos, veremos que la suma de estos números es exactamente igual al número de la fila inmediata inferior.
Ejemplos:
Diagonal en verde : 1+7+28+84+210+462+924= 1716
Diagonal roja: 1+6+21+56= 84
Bueno, realmente este triángulo tiene muchísimas más propiedades como la de los números primos, con los números poligonales, etc.
Próximamente continuaré.
3 comentarios:
I wonder whether this triangle is a cross section of a bigger bundle defined not necessarily over real axis but would contain sets of complex numbers and hyper-complex that may not stack on a serial way on top of each other but would required a kind of generator...just guessing but limiting this to its binomial expansion, have you detected any relationship between generators of perfect numbers vs. nth row...?
Alireza
I found the following:
Row : 2^(2n+1) has a Perfect number in 2nd column.
n row triangle
0 4 6
1 8 28
2 32 496
3 128 8128
4 512 130816 NOT Perfect number
5 20048 2096128 NOT Perfect Number
This is valid only for the first 4 perfect numbers.
The 5th perfect number will be in the 134217728th row and it would be 33550336
The 6th will be in the 34359738368th row and it would be 8589869056
Raúl Merino
tambien hay otro conincidencia en el triangulo que nose si alguien se abra dado cuenta ke cuando sumas en vertical los numeros de las filas impares el resultado es igual ala suma del ultimo numero mas el de el que tiene en el lado mas acia el exterior
nose si sirve de algo pero bueno XD!
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